Varga–Neményi -menetelmä

 Kirjoittaja Anni Lampinen 

 

Varga–Neményi menetelmä poikkeaa perinteisestä opetustavasta 

Määritelmälähtöinen aukeamapedagogiikka   

Määritelmälähtöisellä matematiikan opetustavalla on pitkät perinteet suomalaisessa opetuskulttuurissa. Sitä toteutetaan niin sanottuna aukeamapedagogiikkana. Opettaja opettaa uuden asian antamalla toimintamallin, jota hän havainnollistaa haluamallaan tavalla käyttäen esimerkiksi kuvia, ehkä digitaalista animaatiota tai toimintamateriaaleja. Oppilaat harjoittelevat annettua ratkaisutapaa tekemällä oppikirjan perusaukeman tehtäviä. Mekaanisen laskemisen jälkeen siirrytään sanallisiin tehtäviin, jotka ratkeavat opeteltavalla laskutoimituksella: jos opetellaan yhteenlaskua, laskut ratkeavat yhteenlaskulla, jos kertolaskua, laskut ratkeavat kertolaskulla. Oppimisvaikeusoppilaille tarjotaan opettajan demonstraation jälkeen konkreettisia välineitä, koska ajatellaan, etteivät muut niitä tarvitse – etenkään alkuopetuksen jälkeen. Nopeat oppilaat saavat edetä tekemään oppikirjan lisäaukeamia omaan tahtiinsa. Lisäaukeamien tehtävät ovat perusaukeamaa monipuolisempia. Seuraavalla tunnilla opitaan uusi asia samalla kaavalla. Pysähtyä ei voi, koska muuten ei ehditä tehdä kaikkea. Tästä seuraa kiireen tuntua jo ensimmäiseltä luokalta lähtien.

Uuden asian oppiminen tässä opetustavassa tarkoittaa pääsääntöisesti sitä, että opitaan, miten jotakin lasketaan. Määritelmälähtöinen opetustapa alkaa symbolitasolta. Oppikirjan perusaukeama alkaa sääntöruudulla, jossa annetaan opittava ratkaisutapa. Ruudussa voi olla laskemista havainnollistavia piirroksia ja lyhyitä ohjeita, mutta niissä ei avata käsitettä tarkemmin.   

Tämän opetustavan ydinajatuksena on, että oppilaat oppivat matematiikkaa tekemällä itsenäisesti oppikirjan tehtäviä annetun mallin mukaisesti. Tähän käytetään suurin osa oppitunnista. Siksi oppikirjassa pitää olla paljon tehtävää. Tehtävät etenevät kaavamaisesti, jotta oppilaat osaisivat tehdä niitä omin päin. Matematiikan opiskelu tarkoittaa samaa kuin oppikirjan tehtävien tekeminen, muuta toimintaa ei mielletä oikeaksi oppimiseksi, vaan enemmän viihdykkeeksi tai ajankuluksi. Tunnin lopussa annettava kotitehtävä on aina samassa paikassa ja samantyylinen, jotta se löytyy helposti.

Itsenäisen työskentelyn aikana opettaja usein opettaa ja ohjaa niitä oppilaita, jotka eivät osaa. Tavoitteena on, että nämä oppilaat saavat oppitunnin aikana tuettuna tehtyä perusaukeaman tehtävät. 

Oppitunnin peruskaavaan saadaan vaihtelua opettajan oppaan toiminnallisista tehtävistä, jotka eivät välttämättä liity opittavaan asiaan. Jakson lopussa saattaa olla pelitunti tai pelejä käytetään muulloinkin tuntien kevennyksenä. Pelit kertaavat usein opittavia laskutoimituksia.   

Taitavuus ja osaaminen alkavat oppilaiden mielissä tarkoittaa sitä, että ehtii tehdä paljon. Nopeasta yksin tekemisestä tulee helposti kisa. Toisaalta taitava oppilas saattaa osata opeteltavan asian ennen opetuksen alkua. Opettajan antama malli ja oppikirjan tehtävät näyttävät liian helpoilta ja kaavamaisilta. Oppikirjan tehtävien tekeminen sujuu, mutta se ei motivoi ja matematiikka alkaa tuntua tylsältä. Taitava oppilas ei joudu ponnistelemaan.    

Jos oppimisvaikeusoppilas joutuu jatkuvasti tekemään tehtäviä, joita hän ei osaa, alkaa matematiikka näyttäytyä hankalana ja ylitsepääsemättömän vaikealta. Jos tuki, jota hän opettajaltaan saa, kohdistuu vain viimeisimpään sisältöön, alkaa todellinen oppiminen ja taitojen kasvaminen olla mahdotonta. Toimintamateriaaleista tulee oppimisvaikeusoppilaiden apuvälineitä. Kaikki oppilaat tietävät, että niitä käyttävät vain ne, jotka eivät muuten pärjää. Oppilaan tunne siitä, ettei hän osaa tuettunakaan, vie minäpystyvyyden tunteen pohjalukemiin ja laskee motivaation nollaan. Oppimisvaikeusoppilas saattaa luovuttaa jo ensimmäisinä kouluvuosina.  

Realistinen opetustapa

Realistisessa opetustavassa opeteltavaa asiaa käsitellään antaen esimerkkejä oppilaille tutusta kokemusmaailmasta. Lähtökohtana on toiminnallinen taso, mukaan otetaan ikoninen ja symbolinen taso oppilaan ymmärryksen lisääntyessä. Opetuksen tavoitteena on, että oppilas kykenee soveltamaan oppimaansa arkielämässä. 

Matematiikan opetussuunnitelma ohjaa opetusta realistiseen opetustapaan.  

Ongelmalähtöinen opetustapa

Ongelmalähtöisessä opetustavassa oppilaille annetaan tehtäviä, joita he saavat itse tutkia ja tuottaa uutta tietoa oman ikäkautensa ja osaamisensa rajoissa. Tavoitteena on, että oppilaat käyttävät niitä tietoja ja taitoja, joita heillä jo on, uuden tehtävän ratkaisemisessa, mutta samalla he saavat miettiä jotakin sellaista, johon he eivät aikaisemmin ole vielä tutustuneet.  Ongelmalähtöisessä opetustavassa oppiminen tapahtuu konkreettisen ja abstraktin vuoropuheluna, jolloin liikutaan edestakaisin sekä toiminnallisella että symbolisella tasolla. 

Matematiikan opetussuunnitelma ohjaa opetusta ongelmalähtöiseen opetustapaan.     

Varga–Neményi -menetelmässä realistinen ja ongelmalähtöinen opetustapa nivoutuvat yhteen

”Kun oivallamme jotakin omin päin,
meidät valtaa vapauden ja voitonriemun tunne.
Orjiksi tunnemme itsemme silloin,
kun opettelemme ulkoa toisen ihmisen sanoja,
joita emme ymmärrä.”

W. W. Sawyer

Varga–Neményi -menetelmässä ei käytetä määritelmälähtöistä aukeamapedagogiikkaan sidottua opetustapaa. Siksi opetusmenetelmä ja sen mukaiset oppimateriaalit poikkevat perinteisestä suomalaisesta matematiikan opetuskulttuurista. 

Opetus etenee niin sanottua abstraktion tietä pitkin (katso jäljempänä), jossa ovat mukana realistisen opetustavan toiminnallinen ja ikoninen taso. Matematiikan oppimisessa käytetään hyväksi useita erilaisia toimintatapoja, joita Jorma Joutsenlahti kutsuu kielentämiseksi. Kielentämisessä matematiikan opiskelussa käytetään toiminnan kieltä, kuviokieltä, matematiikan symbolikieltä ja luonnollista kieltä. Nämä kielentämisen eri ilmenemismuodot kuvaavat hyvin matematiikan monilukutaitoa ja laajennettua tekstikäsitystä, jossa tekstin ajatellaan olevan tietoa, jota voidaan ilmaista monessa eri ympäristössä ja monella eri tavalla. Abstraktion tiessä on kuvattu kielentämismallin eri osa-alueet, mutta ne on jäsennetty hieman eri tavalla edeten konkreettisesta kohti abstraktimpaa ilmaisua. Toiminnan ja ikoninen kieli ovat jatkuvassa vuorovaikutuksessa luonnollisen ja symbolikielen kanssa. Tekemisten sanoittaminen luonnollisella kielellä on välttämätöntä ja keskeistä abtraktiotason nostamisessa konkretiasta kohti symbolitasoa. 

Ongelmatehtävä ymmärretään Varga–Neményi -opetusmenetelmässä tehtäväksi, jossa oppilas saa ratkaistavakseen itselleen uudenlaisen tehtävän. Sama tehtävä voi osaamisesta riippuen olla toiselle ongelmatehtävä ja toiselle jo rutiinia. Siksi matematiikan tehtäviä ei jaeta kategorisesti ongelma- ja rutiinitehtäviin. Alkuopetuksessa ongelmatehtävän asemassa on usein jokin yhteinen opettajan ohjaama pedagoginen leikki tai muu toiminta, joka konkretisoi ja avaa opittavaa käsitettä. 

Opettajan demonstraatiota eli valmiin mallin antamista ja havainnollistamista käytetään harvoin. Ainoastaan silloin, kun oppilaille esitellään laskustrategioita lukualueella 0–20, niiden hyödyntämistä analogioiden avulla suuremmilla lukualueilla tai kun opitaan käyttämään algoritmeja (yhteen-, vähennys- ja kertolasku allekkain sekä jakolasku kirjallisesti), opettaja näyttää mallin tai malleja, joita oppilaat saavat kokeilla ja harjoitella. Annetuista malleista oppilas valitsee itselleen sopivimmat, joita hän harjoittelee niin paljon, että taidosta tulee rutiinia. Laskustrategioiden ja analogioiden opettaminen mallin avulla on perusteltua siksi, että ne ovat taloudellisia laskutapoja, joita etenkin oppimisvaikeusoppilaiden on vaikea keksiä itse. Taitavat oppilaat käyttävät näitä strategioita ilman opetustakin.     

Kun oppilaille annetaan omakohtaisia loogismatemaattisia kokemuksia, valitaan ne lasten omasta elämänpiiristä unohtamatta leikkiä, pelaamista, tarinallisuutta ja mielikuvitusta. Uusi käsite opitaan monipuolisesti ja yhdessä tehden monenlaisten esimerkkien avulla. Varga–Neményi -menetelmän mukaisessa oppimateriaalissa esimerkit valitaan siten, että ne kestävät aikaa ja ne kuuluvat kaikkien lasten elämään koti- ja kulttuuritaustasta huolimatta.  

Varga–Neményi -menetelmän mukaisia oppitunteja ei aloiteta lyhyellä opettajan demonstraatiolla, jonka jälkeen oppilaat saavat edetä oppikirjan aukeamien tehtäviä itsenäisesti. Seuraavalla tunnilla ei tarvitse ottaa uutta sisältöä, vaan oppimiselle annetaan enemmän aikaa, jos on tarpeen. Opettajan tienviitan viikkosuunnitelmaehdotukseen on koottu koko jakson, usein useamman viikon, keskeisimmät tavoitteet ja sisällöt. Opettaja valikoi, mitä ja miten tehdään. Valikoinnissa auttaa abstraktion tien etenemisjärjestys. Ajankäyttö on joustavaa ja erilaiset painotukset ovat mahdollisia.   

Opetuksen suunnittelun lähtökohta on sovittaa sekä oppilaiden taidot että opeteltava asia toisiinsa. Tavoitteet ja keinot määräytyvät näiden pohjalta. Opettajan tienviitassa on tähän ohjeita ja materiaaleja. Suurin osa alkuopetuksen oppitunnista käytetään abstraktion tien ensimmäisen ja toisen saaren mukaisissa tehtävissä eli hankitaan kokemuksia opittavasta asiasta ja harjoitellaan siinä tarvittavia taitoja itse tehden monenlaisten toimintojen ja muun muassa ohjatun leikin keinoin. Oppikirjan tehtäviin käytetään oppitunnista yleensä aikaa vain pieni hetki. Aina oppituntien aikana ei ole tehty sellaista, joka vielä taipuisi luontevaksi kotitehtäväksi. Alkuopetuksen oppimateriaaleissa on kuitenkin käytössä oppilaan kotitehtävävihko, josta löytyy helposti tehtävää kotiin myös silloin, kun oppitunnin sisällöistä ei vielä voi antaa mielekästä kotitehtävää. Opettajalla on vapaus valita kotitehtävä muualtakin oman harkintansa mukaisesti.      

Opetuksessa painotetaan niitä tehtäviä, jotka näyttävät olevan kulloinkin juuri näille oppilaille tärkeimpiä ja keskeisimpiä. Syitä erilaisille painotuksille voi olla monenlaisia. Opettajalta vaaditaan sekä taitoa nähdä, mitä oppilaat osaavat että tietoa siitä, mitä kannattaa opettaa seuraavaksi. Oppimateriaalissa on aina enemmän tehtävää kuin  on aikaa käytettävänä. Näin siksi, että opettajalla on valinnanvaraa erilaisia tarpeita varten. 

Jos esimerkiksi näyttää siltä, että toisen luokan alussa oppilaiden yhteen- ja vähennyslaskutaito on hataraa, ryhmässä on monia oppilaita, jotka laskevat kaiken vielä luettelemalla lukuja yksitellen sormia apuna käyttäen tai ilman sormia, käytetään pohjataitoihin eli lukujonotaitoihin, lukumäärien vertailuun ja lukumäärien laskemiseen sekä visuaaliseen lukumäärien hahmottamiseen ja lukualueen 0–10 hajotelmiin enemmän aikaa  samalla, kun opetellaan laskustrategioita lukualueella 0–20. Jos opetuksessa pääpaino on laskutaidon kehittämisessä, silloin ei ehditä paneutua niin paljon muihin syksyn aloittavalla kertausjaksolla oleviin teemoihin, eikä tarvitsekaan. Jos taas laskutaito on jo vankalla pohjalla, voidaan käyttää enemmän aikaa esimerkiksi sanallisiin tehtäviin, lukukäsitettä rikastuttaviin tehtäviin tai vaikka logiikan ja loogisen päättelyn tehtäviin. 

Vaikka opetus sopeutetaan oman opetusryhmän oppilaiden tarpeisiin, ei opetuksessa edetä hitaimman oppijan ehdoilla. Oppimisvaikeusoppilas tarvitsee lisäaikaa ja tukea, jotta hän voi kuroa takamatkaansa. Kun oppilas tarvitsee aikaa aikaisempien sisältöjen oppimiseen, tarjotaan tällaista tukea muualla erityis- ja tukiopetuksessa matematiikan tuntien ulkopuolella – ei päällekkäin näiden tuntien kanssa. Tämän lisäksi leikinomaisia matematiikan taitoja kehittäviä harjoituksia kannattaa sisällyttää osaksi jokaista koulupäivää. Näin saadaan toistoa riittävästi siten, että taidot jo hallitsevat oppilaat jaksavat olla mukana, koska he kokevat vain leikkivänsä jotakin ohjattua leikkiä samalla kun takamatkalaiset saavat heille tärkeää harjoitusta. Jos käytössä on joustavia ryhmittelyjä, voidaan painotukset laatia eri tavalla matematiikan tuntienkin aikana eritasoisille ryhmille. Näin siksi, että lasten oppimisen ilo säilyisi ja kehittyminen omalta tasolta olisi mahdollista. Tämä on yhtä tärkeää niin taitavalle kuin oppimisvaikeusoppilaalle.   

Oppimisvaikeusoppilaskin voi osallistua yhteisten kokemusten hankkimiseen abstraktion tien saarilla samaan tapaan muiden kanssa. Kaikki oppilaat työskentelevät toimintamateriaaleilla –  eivät vain ne, joilla on oppimisvaikeuksia. Välineet ovat kaikkien oppilaiden tarvitsemia ajattelun työkaluja, niitä ei alenneta pelkästään laskemisen apuvälineiksi. Alkuopetusikäiset oppilaat ovat vielä konkreettisten operaatioiden vaiheessa ja he tarvitsevat ymmärtämiseen konkretiaa. (Samaa konkretiaa tarvitsevat myös opettajat ja vanhemmat. Välineillä työskentely tukee matematiikan ymmärtämistä – käsiteverkon rakentumista – myöhempinäkin ikävuosina.) Kaikilla oppilailla on mahdollisuus tehdä konkreettisesta toiminnasta havaintoja ja sanoittaa niitä osaamisensa mukaan. Ainoa vaatimus on oppilaan halu osallistua yhteiseen toimintaan: tehdä, sanoittaa tekemisiään ja kuunnella, mitä muut asiasta sanovat. Saattaa olla, ettei oppimisvaikeusoppilaan osaaminen näytä juurikaan erottuvan toiminnallisten harjoitusten aikana — varsinkin silloin, kun  ei tarvita paljon lukujenkäsittely- ja laskutaitoa. Osaamiseroa syntyy, kun koettu ei jäsenny eikä yleisty kaikkien oppilaiden mielessä opettajan tarkoittamalla tavalla osaksi matematiikan käsiteverkkoa. Opeteltava asia ei jää mieleen, kun sille vielä ei ole oppilaan mielessä tarttumapintaa. Tästä syystä opetuksessa edetään niin, että oivaltamisen mahdollisuuksia on kouluvuosien saatossa pitkin matkaa ja siksi käsitteitä nivotaan Varga–Neményi -menetelmässä yhteen kerta toisensa jälkeen. Oppilailla on mahdollisuus oivaltaa omaan tahtiinsa, kerralla ei tarvitse tulla valmista. 

Varga–Neményi -menetelmä on samaan aikaan sekä opettajajohtoinen että oppilaskeskeinen. Itsenäisen työn ja nopeuden vaatimusta ei ole, nämä ovat oikeastaan useimmiten haitallisia ja ne kuljettaisivat opiskelua väärään suuntaan. Matematiikan opiskelun tärkeimpiä päämääriä on oppia matemaattista ajattelua ja ratkaisemaan ongelmia yhdessä. Oppilasta ei jätetä tehtävien kanssa yksin, vaan tehdään ja pohditaan yhdessä koko ryhmän tai pienemmän ryhmän kanssa. Tunnit täyttyvät tekemisestä ja puheesta. Opettajan tehtävä on huolehtia siitä, että oppilaat saavat heitä kiinnostavia loogismatemaattisia kokemuksia eli ongelmia ja tehtäviä, jotka etenevät johdonmukaisesti ja jotka mahdollistavat matematiikan käsiteverkon rakentumisen. 

Opetuksen tehtävänä on myös kehittää matematiikan taitoja, etenkin lukujen käsittely- ja laskutaitoa. Alkuopetusikäinen lapsi oppii uusia taitoja itse tekemällä ja ohjatun leikin avulla. Alkuopetuksessa luodaan pohja lukukäsitteelle, laskutaidolle ja matemaattiselle ajattelulle laajemminkin. Kaikki alkuopetuksen sisällöt ja taidot ovat välttämättömiä myöhemmälle matematiikan osaamiselle.  

Ensimmäisinä kouluvuosina matematiikan opetuksessa käytetään eniten puhuttua kieltä, joka poikkeaa oppikirjojen kirjoitetusta tekstistä sekä rakenteeltaan että osittain myös sanastoltaan. Matematiikan tunneilla – ja aina kun matematiikan näkökulma otetaan esille – puhutaan paljon, sanoitetaan juuri koettua ja tehtyä “matematiikaksi”. Alkuopetuksen aikana opettaja esittelee tehtävät, ohjatut leikit ja pelit suullisesti ja konkretisoiden, myöhemmin oppilaat saavat myös kirjallisia ohjeita. Opettaja huolehtii tarvittavista välineistä ja kuljettaa opetusta eteenpäin niin, että oppilailla on mahdollisuus yhteiseen tekemiseen ja pohtimiseen, matematiikan näkökulman havaitsemiseen ja sanoittamiseen. 

Oppilaalla on oikeus käyttää sitä kieltä, jota hän osaa, koska kieli asettaa rajat ymmärtämiselle. Täsmällisten matematiikan termien ja kirjallisen ilmaisun aika ei ole vielä alkuopetuksessa. Liian aikainen abstrahoimisen ja oppilaalle vaikeiden sanojen käyttämisen vaatimus vie pohjan monen oppilaan osaamiselta. Oppilaalta on turhaa ja jopa vahingollista vaatia, että hän puhuu matematiikasta opettajan antaman jäykän mallin ja liian abstraktien käsitteiden mukaisesti. Ulkoa opittujen lauseiden ja täsmällisten termien takana ei välttämättä ole ymmärtämistä. Tässä vaiheessa ensimmäistäkään matematiikan käsitettä ei ole vielä opittu niin perusteellisesti, että abstraktille käsitteelle olisi ymmärrykseen ja tietoon perustuvaa syvyyttä. Jos oppilas käyttää matematiikan termejä liian varhain ymmärtämättä niitä tarpeeksi, saattaa opettaja luulla, että oppilas osaa, vaikka hän ei todellisuudessa ymmärtäisi asiasta juuri mitään. Ilman ymmärtämistä ei ole todellista osaamista. Unkarissa on sanonta: “Annetaan lapsen syntyä ennen nimen antamista.”  

Oppikirjan asema

Vasta monien tekemisten, ohjattujen leikkien ja kokemusten jälkeen otetaan oppikirja esille. Tällä tavalla kaikilla oppilailla on enemmän aikaa ja mahdollisuuksia tutustua uuteen käsitteeseen ja harjoitella niitä taitoja, joita tarvitaan oppikirjan tehtäviä tehtäessä. Siksi opettajan opas ja oppikirja muodostavat kokonaisuuden, toista ei ole ilman toista. Pelkkien opettajan oppaan kokemuksellisten tehtävien tekeminen ei riitä – eikä riitä pelkkä oppikirjakaan. Opettajan tienviitat on suunniteltu siten, että ne etenevät abstraktion tietä pitkin kohti oppikirjan tehtäviä. Oppikirja muodostaa kokemukselliselle oppimiselle tärkeän jatkumon, jossa aiemmin koettu siirretään paperille kirjoitetuksi tekstiksi ja kuviksi. 

Matematiikan taidot kehittyvät pienillä matematiikan oppijoilla monipuolisten ja konkreettisten tekemisten ja toiston kautta. Alkuopetuksessa käytetään paljon kehollisia kokemuksia ja leikkejä sekä toimintamateriaaleja, koska tämänikäinen lapsi oppii leikin ja konkretian kautta myös matematiikkaa. Siksi ei riitä, että matematiikkaa harjoitellaan suurimmaksi osaksi tekemällä oppikirjan tehtäviä. Usein toistuvat matematiikan taitojen kannalta keskeiset tekemiset mahdollistavat myös matematiikan takamatkalaisten taitojen vähittäisen kehittymisen kohti sujuvaa osaamista. Oppimisvaikeusoppilaatkin tarvitsevat ja ansaitsevat mahdollisuuden riittävään harjoitteluun, ymmärtämiseen ja omaan oivaltamiseen. Oppikirjan kirjalliset tehtävät ja niiden itsenäinen tekeminen ei useinkaan auta näitä oppilaita, vaan tällainen tapa saattaa aiheuttaa vain lisää turhautumista ja osaamattomuuden tunteita.     

“Minähän jo osaan tämän!” Oppikirja otetaan Varga–Neményi -menetelmässä yleensä esille vasta siinä vaiheessa, kun oppilailla on jo runsaasti kokemusta ja taitoja opittavasta asiasta. Kirjassa on muutamia juuri siihen kohtaan soveltuvia tehtäviä, joita niitäkin tehdään usein yhdessä. Ne tuovat vielä uuden näkökulman opittavaan asiaan: kuvat, piirtämisen ja matematiikkaa sisältävän kirjoitetun tekstin. 

Oppikirjan peruslaskutoimituksia harjoituttavilla tehtävillä on oma roolinsa. Laskurutiinia on hyvä harjoitella laskemalla laskusarjoja, varsinkin jos ne on laadittu siten, että ne samalla opettavat ja vakiinnuttavat laskustrategioiden hallintaa ja analogioiden käyttöä. Mutta laskutaidon harjoittelu on usein tehokkaampaa ja oppilaista yleensä mieluisampaa, jos sitä saa harjoitella leikkimällä ja pelaamalla. Jotta oppilas oppisi käyttämään laskustrategioita, täytyy hänen osata riittävästi niihin vaadittavia pohjataitoja. Näitä pohjataitoja harjoitellaan ensin sujuvaksi ja vasta sen jälkeen voidaan vaatia sujuvuutta myös laskustrategioihin. Viisas opettaja ymmärtää edetä taitojen kehittymisessä näiden askelien mukaisesti ja ohjata oppilasta tekemään niitä tehtäviä, joista hänelle on juuri silloin eniten hyötyä. On esimerkiksi turhaa vaatia oppilaan käyttämään hajotelmia kymmenylityslaskuissa, jos hän ei vielä osaa hajottaa lukuja ja laskee yhteen- ja vähennyslaskut ainoastaan luettelemalla lukuja yksitellen.      

Induktiivinen oppiminen ja rikkaan käsiteverkon rakentuminen

Varga–Neményi -menetelmä on induktiivinen eli oppilaille annetaan monia konkreettisia esimerkkejä, joiden avulla oppilas voi yleistää ja liittää uuden käsitteen omaan matematiikan käsiteverkkoonsa. Käsitteille saadaan sisältöä ja niitä opitaan käyttämään monenlaisissa yhteyksissä. 

Esimerkiksi yhteen- ja vähennyslaskua käytetään, kun ratkaistaan yhteismäärä tai osa yhteismäärästä, muutos- ja vertailutilanteita. Opetuksessa pidetään huolta siitä, että kaikkiin tilanteisiin tutustutaan abstraktion tien mukaisesti monien esimerkkien avulla. Yhteen- ja vähennyslasku opetetaan yhtäaikaa konkreetisten esimerkkien ja toimintojen avulla, koska nämä ovat käänteisiä laskutoimituksia. Jos oppilas saa konkreettisesti lisätä neljään nappiin kaksi nappia, niin heti perään voidaan ottaa kuudesta napista takaisin samat kaksi nappia. Käänteisyyden ymmärtäminen on haastavaa pienelle oppijalle, se vaatii monia oppimisen mahdollisuuksia. Kerralla ei tule valmista ja siksi ne ovat esillä toistuvasti ensimmäisten kouluvuosien aikana. 

Lukukäsitteen joustava hallinta tarkoittaa muun muassa sitä, että lukuja voidaan ilmaista monella tavalla. Siksi jo alkuopetuksessa luvuille opitaan antamaan “lempinimiä” tai “eri nimiä”. Tämä on eri asia kuin lausekkeet ja laskeminen. Opetuksessa  käytetään aikaa siihen, että lukuja ilmaistaan monella eri tavalla hajoittamalla ja kokoamalla. Luku 100 voidaan kirjoittaa muodossa 50+50, 2⋅50, 105-5 ja niin edelleen. Jos oppilaalle vakiintuu käsitys siitä, että lukuja ilmaistaan vain kymmenjärjestelmän mukaisessa muodossa, on niitä vaikea käyttää tilanteissa, joissa tarvitaan joustavaa ajattelua ja syvempää ymmärtämistä, abstraktiotason nousua aritmetiikasta algebraan.  

Alkuopetus luo pohjan 

Opettamisen haasteena on, että oppilaiden matemaattiset taidot kehittyvät eriaikaisesti ja oppilaat tarvitsevat eri määrän harjoittelua. Matematiikka on kumuloituva oppiaine. Siksi opetuksessa on otettava huomioon eri taitotasot eikä opettaa ja vaatia osaamista kaikilta samalla tavalla ja saman tien. On turha vaatia matematiikan “tanssiaskelien” osaamista oppilaalta, joka on juuri oppinut “konttaamaan”. 

Alkuopetuksen aikana eri tasolla olevien oppilaiden taitojen kehittämiselle ja kehittymiselle on vielä hyvin mahdollisuuksia. Parhaassa tapauksessa takamatkalaiset alkavat saada muita kiinni ja todellisia oppimisvaikeuksia ei synny tai osaamisen puutteet alkavat lientyä.   

Matematiikan opetuksen tarkoitus on, että oppilas voi ottaa haltuun uusia taitoja ja rakentaa matematiikan käsiteverkkoonsa uutta sisältöä yhdistäen sen aiemmin oppimaansa. Esimerkiksi ennen peruslaskutoimitusten oppimista täytyy matematiikan varhaisten taitojen ja lukukäsitteen olla kehittynyt niin vankaksi, että laskeminen on mahdollista. Tämän jälkeen ensimmäisellä luokalla opitaan käyttämään yhteen- ja vähennyslaskujen päässälaskustrategioita lukualueella 0–20, toisella luokalla nämä samat strategiat siirretään analogioiden avulla 0–100:n lukualueelle, kolmannella luokalla jatketaan analogioiden käyttämistä lukualueella 0–1000 ja niin edelleen. Kun ensimmäisellä luokalla opitut päässälaskutaidot voidaan myöhemmin siirtää analogioiden avulla suuremmille lukualueille, on oppilaalla uutta opittavaa vähän, kun nämä taidot ovat hallinnassa. Siksi kaikki ensimmäisen luokan sisällöt ovat välttämättömiä kaikkina myöhempinä vuosina. Osa oppilaista ei kuitenkaan ole ehtinyt saavuttaa tarvittavia taitoja toisen luokan alussa, vaan he tarvitsevat vielä mahdollisesti paljon vahvistusta lukukäsitteen ja lukualueen 0–20 laskemisen sujuvoitumisessa. Tähän tartutaan toisella luokalla ja yritetään varmistaa kaikkien oppilaiden taitojen hallinta. Jos nämä taidot ovat puutteelliset vielä kolmannelle luokalle siirryttäessä, jatketaan takamatkan kuromista umpeen.    

Kerto- ja jakolaskun käsitteen pohjustaminen syyslukukaudella ennen kevään kerto- ja jakolaskua

Toisella luokalla tavoitteena on oppia 2:n–5:n ja 10:n kertotaulut ulkoa. Kertolaskun käsitteen opettamisen jälkeen irrallisen kertolaskujen ulkoaopettelun sijaan Varga–Neményi -menetelmässä vahvistetaan ensin kertotauluissa tarvittavien monikertojen hallintaa jo heti lukuvuoden alusta saakka, jotta mahdollisimman monen oppilaan kertolaskuihin tarvittavat monikertojen lukujonotaidot olisivat hallinnassa silloin, kun kertotauluja aletaan kevätlukukaudella vihdoin opiskella. Kertolaskun käsite pohjustetaan jo syyslukukaudella hyvissä ajoin ennen kertotaulujen opiskelua, jotta oppilaat saavat aikaa sisäistää kertolaskun ja jo sisältöjakolaskunkin käsitettä. Sisältöjakolasku on on kertolaskun käänteinen operaatio ja siksi sitä on luontevaa opettaa kertolaskun kanssa yhdessä. Toisen luokan keväällä käytetään aikaa sekä kerto- että sisältö- ja ositusjakolaskun opettamiselle ja näiden yhteyksien etsimiselle.  

Monikertoja opeteltaessa ei tyydytä siihen, että monikerrat hallitaan vain kertotauluihin saakka. Tämä tarkoittaa sitä, että esimerkiksi kahden monikertoja harjoitellaan saman tien 20:n sijaan sataan saakka, koska neljän ja kahdeksan monikerrat rakentuvat kahden monikerroille. Joka toinen kahden monikerta on neljän monikerta ja joka toinen neljän monikerta on kahdeksan monikerta. Oppimisessa hyödynnetään siis aikaisemmin opeteltuja monikertoja, jolloin opittavaa on huomattavasti vähemmän ja oppimisen tavassa hyödynnetään lukujen välisiä relaatioita. Tämä auttaa myöhemmin muun muassa jaollisuuden, jakolaskun ja murtolukujen oppimisessa. Kertotaulut eivät jää irralliseksi aritmeettiseksi faktatiedoksi, jota ei osata käyttää myöhemmin hyödyksi. Kokemus on osoittanut, että myös oppimisvaikeusoppilaat voivat oppia monikerrat ja niiden väliset relaatiot, jos laskemisen ja lukujonojen hallinnan pohjataidot on saatu ensin harjoitella riittävän sujuviksi ja oppilailla on mahdollisuus heille mieleiseen harjoitteluun. Tämä on parempi vaihtoehto kuin kertolaskutaulukon antaminen oppilaalle. 

Monikertojen opetteluun voidaan käyttää useampikin vuosi. Jos niitä opetellaan neljän ensimmäisen kouluvuoden aikana leikinomaisesti monissa eri tilanteissa mieluiten jokaisen koulupäivän aikana, aikaa on riittävästi. Jatkuva harjoittelu tapahtuu kuin huomaamatta, koska tekemiset ovat usein erilaisia leikkejä, pelejä ja hauskoja puuhia esimerkiksi tuntien aluissa keskittymisharjoituksena, pikkuvälitunneilla tai odottelu- ja siirtymätilanteissa. Nämä puuhat näyttäytyvät oppilaiden silmissä lähinnä viihdykkeenä ja ajankuluna, mutta todellisuudessa ne ovat tärkeitä harjoituksia, joilla halutaan auttaa myös kaikista hitaimmin oppivia oppilaita sujuvammiksi laskijoiksi. 

 

7+1 perusperiaatetta

1. Todellisuuteen perustuvien kokemusten hankkiminen

Lapsen omakohtainen ja välitön kokemus on kaiken matemaattisen ajattelun ja oppimisen lähtökohta. Ilman kokemusta ja konkretiaa ei ole todellista oppimista. Pelkkien sanojen kautta ei rakennu ymmärtämistä. Matematiikkaa sisältäviä kokemuksia oppilaat ovat saaneet jo paljon muualtakin kuin matematiikan oppitunneilta. Kokemukset poikkeavat kuitenkin paljon sekä määrältään että laadultaan. Myös se, kuinka paljon ja miten kokemuksia on lapsen kanssa sanoitettu aikaisemmin, vaihtelee suuresti. Ilman kokemusten ja havaintojen sanoittamista matematiikan näkökulmasta ei tule tietoista. Opettajan ei pidä erehtyä luulemaan, että pikku oppilas havaitsee ympäristöään, sanoittaa sitä ja ajattelee samalla tavalla kuin toinen oppilas saati aikuinen. Siksi lapsen kuunteleminen ja pyrkimys ymmärtää lasta on tärkeää.

Todellisuuteen perustuva kokemusten hankkiminen tarkoittaa sitä, että opetuksessa esimerkit otetaan lapselle tutusta elämänpiiristä ja lapsen omista kokemuksista. Näitä tarkastellaan yhdessä loogismatemaattisesta näkökulmasta. Oppilaat tarvitsevat paljon ja erilaisia välittömiä kokemuksia samasta käsitteestä, jotta he voivat yleistää oppimaansa. Opetus on induktiivista eli se etenee monien esimerkkien kautta yleistämiseen. 

Opetusryhmän yhteisistä välittömistä kokemuksista syntyy oppilaiden mielissä muistikuvia ja välillisiä kokemuksia, joihin voidaan palata ja joita voidaan yhdessä muistella myöhemmin. Välilliset kokemukset ovat tärkeitä, sillä oppilaat tarvitsevat aikaisempia muistikuvia ajattelunsa pohjaksi. Näin he voivat yleistää ja liittää toisiinsa samaan käsitteeseen liittyviä eri kokemuksia, tehdä oivalluksia ja laajentaa matematiikan käsiteverkkoaan. 

Jos matematiikan opiskelussa hyödynnetään enimmäkseen sellaisia välillisiä kokemuksia, joista oppilailla ei ole todellisia kokemuksia, voiko oppiminen onnistua? Ajatellaanpa vaikka jotakin sanallista tehtäväympäristöä, joka ei ole lapselle tuttu. Kuinka hän ymmärtää ja rakentaa tilanteesta itselleen todellisuutta vastaavan mielikuvan, saati löytää matematiikan näkökulman, vaikka opettaja yrittäisi sitä kuinka sanallisesti ja kuvien avulla selittää?

Matematiikan taidot kehittyvät itse tehden. Varga–Neményi -menetelmässä oppilas hankkii matemaattisten käsitteiden pohjaksi kokemuksia monien aistihavaintojen kautta. Hän askeltaa, hyppää, taputtaa, näyttää, kokoaa, peittää, täyttää, koskettaa, tunnustelee, rakentaa, mittaa, laskee ja niin edelleen. Matematiikan käsittäminen tarkoittaa myös matematiikan koskettamista käsin. 

Leikki ja tarinallisuus matematiikan oppimisessa

Yhteisen leikin ja tekemisen kulttuurin vaaliminen on osa matematiikankin opetusta. Leikin ei voi antaa kadota lasten elämästä. Leikkiä tarvitaan niin uusien käsitteiden oppimisessa kuin matematiikan perustaitojen vakiinnuttamisessa. Matematiikan opiskelussa ohjattu leikki on osa monilukutaitoa ja kielitietoista opetusta. Leikkiessä ollaan vuorovaikutuksessa toisten kanssa, sanoitetaan tekemisiä ja puhutaan paljon. Leikki opettaa ymmärtämään sanallisia tehtäviä.  

Varga–Neményi -menetelmässä ei siis käytetä vapaata leikkiä, vaan ohjattua pedagogista leikkiä etenkin alkuopetuksessa. Tämänikäinen lapsi elää vielä täysin sydämin leikin maailmassa. Leikki on hänelle luontainen tapa oppia ja kokeilla uutta. Leikki myös viihdyttää. Monet yhteiset pedagogiset leikit auttavat  opetusryhmän oppilaita keskittymään ja rauhoittumaan. Esimerkiksi odottelutilanteet säilyvät rauhallisina, kun oppilailla on mukavaa tekemistä tekemättömyyden sijaan.  

Pedagogista ohjattua leikkiä käytetään käsitteen opettamisessa abstraktion tien eri vaiheissa. Pedagogisessa leikissä on opetuksellinen tavoite. Joskus opettaja on jo ennakkoon päättänyt, mitä ja miten leikitään. Joskus taas leikki voidaan luoda yhdessä oppilaiden kanssa. Opettaja toimii kummassakin tapauksessa leikin ohjaajana ja pitää huolen siitä, että leikki pysyy ajatellussa opetuksellisessa raamissa ja siinä toteutuvat ne matematiikan tavoitteet ja sisällöt, jotka ovat juuri silloin ajankohtaisia. Oppilailla on leikissä vapautta toimia ja he saavat tuoda siihen oman panoksensa – mutta annetussa raamissa.  

Käsitettä opettavan ohjatun leikin ei tarvitse olla monimutkainen eikä pitkä. Kunhan siinä on mukana tarinallisuutta ja roolinottoa. Näissä leikissä käytetään mielikuvitusta, jolloin yksinkertaiset toimintavälineet saavat milloin minkin roolin. Leikkiessään lapsi voi käyttää mielikuvitustaan, hänelle ei ole vaikeaa kuvitella, että rakentelukuutiot voivat olla marjoja, rakennuksen tiilejä tai niistä voi tehdä karamellipatukoita. 

Esimerkiksi kun toisella luokalla kerrataan yhteen- ja vähennyslaskuja, syntyy yksinkertainen leikki näyteikkunaostoksista. Oppilaat saavat yhdessä katsoa ostettavia tavaroita ja niiden hintoja sekä miettiä, mikä on kalleinta, mikä halvinta, mitä ostaisivat, mihin rahat riittävät ja niin edelleen. Tämä on paljon hauskempaa ja samalla vähintään yhtä opettavaista kuin oppikirjamaiset suljetut ostostehtävät. Kun ostosten tekemistä mietitään yhdessä, ei eriyttämiselle ole juuri tarvetta, koska jokainen pohtii ensinnäkin omaa ostostaan ja toisaalta on mukana keskustelussa muiden ostoksia tutkittaessa. Jos näyttää siltä, että tehtäviä tarvitaan eri määrä, voivat oppilaat miettiä ja kirjata omia erilaisia ostoksia miltei rajattoman paljon. Oppikirjankin tehtävät yhteisen leikin jälkeen voivat edelleen olla avoimia raha- ja ostostehtäviä, kaavamaisia suljettuja tehtäviä ei tarvita välttämättä lainkaan.      

Käsitteen opettamisen lisäksi ohjatun leikin avulla harjoitellaan niitä matemaattisia taitoja, joiden hyvä hallinta on oppimiselle välttämätöntä. Oppimisvaikeusoppilaille lukujonoihin ja lukuhin liittyvät ohjatut leikit ja tekemiset ovat tärkeitä. Näitä tarvitaan paljon! Kun oppimisessa käytetään leikinomaisuutta, liikettä, kehorytmejä ja niin edelleen, jaksavat yleensä kaikki pikku oppilaat innostua ja harjoitella riittävästi – leikki viihdyttää myös niitä, jotka jo osaavat. Koulupäivän lomassa matematiikan tuntien ulkopuolella leikitään pikkuvälitunneilla, jouto-, odottelu- ja siirtymätilanteissa matematiikan taitoja kehittäviä leikkejä, jotta matematiikan takamatkalaistenkin taidot ehtivät kehittyä ja vakiintua. Kaikki mahdolliset oppimishetket on käytettävä hyväksi, jotta nämä oppilaat ehtisivät saada riittävästi harjoitusta. Tällä on myönteiset ja kauaskantoiset seuraukset myöhemmälle oppimiselle.   

Varga–Neményi -menetelmän mukaisessa oppimateriaalissa ei ole läpi kouluvuoden vakiintuneita hahmoja tai jatkuvaa tarinallista ympäristöä. Tämä sitoisi ja rajoittaisi turhaan sekä opettajia että oppilaita. Niitä ei tarvita. Opettajalla ja oppilaillakin täytyy olla mahdollisuus luoda ja innostua vapaasti ilman turhaa sidonnaisuutta. Sen sijaan matematiikan tehtäväsisältöjä voidaan vapaasti sisällyttää osaksi kirjallisuuden opetusta. Opetusjakso voi olla pitkä tai lyhyt. Kun opetusryhmässä luetaan kirjaa, pysähdytään tiettyihin kohtiin, joissa on mahdollista antaa oppilaille matematiikkaa sisältäviä tarinan mukaisia rooleja ja tehtäviä. Tai matematiikan opiskelun voi upottaa osaksi tarinallisuutta: opettaja voi luoda tarinan myös matematiikan ehdoilla eli päättää ensin, mitä ja miten harjoitellaan ja sen ympärille luoda juonitarinan henkilöhahmoineen. Tämä edellyttää opettajalta erityistä innostusta, luovuutta ja kekseliäisyyttä. Opettajan on tunnettava hyvin Varga–Neményi -menetelmän rakenne ja tehtäväsisällöt, jotta matematiikan opetuksessa säilyy punainen lanka. Tarinallinen opetus on osa kielitietoista opetusta ja kun matematiikka punotaan yhteen äidinkielen kanssa, on oppituntejakin käytössä silloin enemmän. 

 

2. Abstraktion tie

    

Abstraktion tie on opettajan tärkein didaktinen työkalu. Se on metafora, jolla kuvataan sosiokonstruktivistisen oppimiskäsityksen mukaisen opettamisen ja opiskelun eri vaiheita konkreettisesta toiminnasta kohti abstraktia ajattelua ja ilmaisua. Ongelmanratkaisua ei opeteta irrallisina tehtävinä tai omana sisältökokonaisuutena, vaan se on läsnä jokaisella oppitunnilla niissä tehtävissä, jotka eivät vielä ole muodostuneet oppilaille rutiinitehtäviksi.

Abstraktion tien mukaisessa opetuksessa oppilaiden monilukutaito kehittyy jatkuvasti ja he oppivat matematiikkaa laajan tekstikäsityksen mukaisesti. Laajan tekstikäsityksen mukaan kaikki se, mikä sisältää tietoa, on tekstiä. Jokainen abstraktion tien saari sisältää erilaisia tekstejä samasta opittavasta sisällöstä. 
 

Ensimmäinen arjen ja kehollisten kokemusten saari

Pitkä kokemus on osoittanut, että kaikki ensimmäisen saaren tekemiset ovat erityisen tärkeitä mitä pienemmästä oppijasta on kyse ja myös silloin, kun suomi ei ole lapsen äidinkieli tai matematiikan oppiminen on lapselle haasteellista. Siksi ensimmäisen saaren toiminnot ovat keskeisessä asemassa erityisesti alkuopetuksessa, kielitietoisessa opetuksessa myöhemminkin ja erityisopetuksessa. Tästä syystä matematiikan käsitteiden oppiminen aloitetaan tältä saarelta eikä opettajan antamasta laskemiseen liittyvästä mallista, välillisestä kokemuksesta, säännöstä tai kuvan tarkastelusta.     

Ensimmäisellä saarella haetaan kokemuksia lasten elämänpiiristä ja leikeistä. Koulupäivän tilanteita ja ympäristöä hyödynnetään mahdollisimman paljon. Koulupäivän aikana on mahdollista tuoda monenlaiseen tekemiseen myös matematiikan näkökulma ja sanoittaa tilanteita ja tapahtumia matematiikan näkökulmasta. Näitä hetkiä tulee esiin jonotus-, odottelu- ja siirtymätilanteissa, ruokaillessa, välituntileikeissä ja eri oppiaineiden tunneilla – oikeastaan siis joka paikassa, kunhan niihin osataan vain tarttua! 

Ensimmäisellä saarella oltaessa oppilaat itse ovat aktiivisia toimijoita, leikkijöitä, “pelinappuloita” tai “toimintamateriaaleja”. 

Esimerkiksi kun toisella luokalla tutustutaan lukualueen 0–100 lukusuoraan, tehdään ensimmäinen lukusuora oppilaista itsestään, jolloin osa oppilaista asettuu tasavälein riviin ja heillä on kädessään kortti, jossa on lukusuoran luku, loput oppilaista saavat jonkin muun lukukortin, jota he eivät itse näe; nämä oppilaat saavat lukujen ominaisuuksia käyttäen kyselemällä ottaa selville, missä on heidän oikea paikka lukusuoralla: “Onko lukuni suurempi/pienempi kuin…?, Onko luvussani…?”. Vasta tämän jälkeen siirrytään tarkastelemaan piirrettyä lukusuoraa. 

Tai kun opitaan kertolaskun käsite yhtä suurten lukujen yhteenlaskuna, saavat oppilaat leikkiä ohjattua omenapiirakan leipomisleikkiä, jossa he pääsevät opettajan kertomuksen johdattelemina konkreettisesti nousemaan paikaltaan ja hakemaan piirakkaa varten esimerkiksi kolme kertaa neljä omenaa. Mikä tahansa muukin vastaava leikki on sopiva, kunhan siinä on kertolaskun käsitteen oppimisen kannalta olennaiset elementit mukana.  

Myös kaikki keholliset kokemukset, kehorytmit ja liikesarjat ovat ensimmäisen saaren tekemisiä. Niiden avulla voidaan harjoitella esimerkiksi lukujen hajoittamista, auttaa yhteen- ja vähennyslaskun käänteisyyden ymmärtämistä, tukea lukujonojen osaamista, oppia suunta- ja sijaintikäsitteitä ja niin edelleen. 

Ensimmäisellä saarella oltaessa tekemiset sanoitetaan. Alkuopetuksen aikana käytetään enimmäkseen puhuttua kieltä, sen sanastoa ja rakenteita. Totutetaan oppilaat puhumaan matematiikan tunneilla, jotta he oppivat itseilmaisua, kuuntelemaan ja keskustelemaan matematiikasta omien kokemustensa kautta. Kirjoitettua kieltä otetaan mukaan pienin askelin. 

Pian otetaan käyttöön myös “matematiikan kieli” eli tutustutaan siihen, miten kokemukset voidaan kirjoittaa numeroista tehdyillä luvuilla ja matematiikan symboleilla. Yleensä on mahdollista kirjoittaa koettu useammallakin tavalla käyttäen “matematiikan kieltä”. Näitä eri tapoja käytetään jo ensimmäiseltä luokalta lähtien. Liikenne on tässä kaksisuuntaista eli oppilaille voidaan antaa “kirjoitettua matematiikkaa” eli lukuja ja laskutoimituksia ja pyytää konkretisoimaan niitä ensimmäisen saaren mukaan näyttelemällä ja välineillä, myöhemmin myös piirroksilla.
 

Toinen eli toimintamateriaalien saari 

Se, mitä ollaan yhdessä jo koettu ensimmäisellä saarella, siirretään oppilaiden käsin kosketeltavaksi. Jokaisella oppilaalla on käytössä välineitä. Tehdään edelleen yhdessä ja opettaja johtaa toimintaa. Oppilailla on käytössään esimerkiksi värisauvat, loogiset palat, nappeja, sinipunakiekkoja tai muuta vastaavaa. Nämä tekemiset ovat rakenteeltaan isomorfisia ensimmäisen saaten toimintojen kanssa. Toisin sanoen niissä on samanlainen rakenne kuin ensimmäisen saaren tehtävissä, vaikka esimerkit olisivat erilaisia. 

Esimerkiksi oppilaista tehdyn lukusuoran jälkeen oppilaat saavat käyttää mittanauhaa tai paperista tehtyä lukunauhaa tai lukusuoraliuskaa. Siihen tutustutaan ensin ja kohta jo etsitään ja/tai sijoitetaan sille lukuja. Tai kertolaskun käsitettä opittaessa keksitään ja kerrotaan yhdessä kertolaskua sisältäviä tarinoita ja oppilaat tekevät sen mukaisesti vastaavia ryhmittelyjä joillakin pienillä esineillä, opetusrahoilla tai vaikkapa helmitaululla. 

Toimintamateriaalien saarella puhutaan tekemisistä ja tekeminen muutetaan tälläkin saarella lopulta “matematiikan kielelle”. Tässä ei ensimmäisinä kouluvuosina tarvita niinkään kirjoitettua tekstiä, vaan edetään enimmäkseen opettajan suullisesti antamien tarinallisten tehtävien kautta. Kaikki tämä pohjustaa kirjallisten sanallisten tehtävien ymmärtämistä, joita myöhemmin tehdään enemmän. Toisen luokan oppilaan kirjassa on kirjoitettuna jo joitakin sanallisia tehtäviä, mutta niitäkin avataan yhdessä toiminnalla, toimintamateriaaleilla ja/tai kuvien avulla. 

Toisella luokalla ei tarvitse vielä osata kuvitella sanallisia tehtäviä vain mielessä ja laskea niitä päässälaskuna. Suullisten sanallisten päässälaskujen aika on myöhemmin. Tärkeämpää on pyrkiä ymmärtämään tehtävää ja osata konkretisoida sitä jollakin tavalla toimintamateriaaleilla tai piirroksena. Siksi Varga–Neményi -menetelmässä ei ole lainkaan perinteisiä suullisia sanallisia päässälaskuja. Viisaampaa on antaa oppilaille mahdollisuuksia oppia mentaalia, vain mielessä tapahtuvaa, matematiikkaa pienin askelin abstraktion tien mukaisesti. Aikaa on kyllä. Samalla kaikille oppilaille annetaan oppimisen ja kehittymisen mahdollisuus.

Kolmas kuvien saari

Kun opittavaa asiaan on tutustuttu omakohtaisten kokemusten, leikin ja toimintamateriaalien kautta, siirrytään tarkastelemaan samaa asiaa kuvien kautta. Oppilaat saavat tutkia valmiita kuvia, täydentää kuvaan puuttuvia osia tai luoda kokonaan oman piirroksen. 

Erityisen arvokasta on oppia piirtämään juuri yhdessä koetusta matematiikkapiirros, jossa kuvataan matematiikan kannalta olennainen. Sama sisältö muutetaan eri muotoon toiminnasta kuvaksi. Tämä nostaa abstraktion tasoa, tukee niin yleistämistä kuin sanallisten tehtävien ymmärtämistä ja omien muistiinpanojen tekemistä. Alkuopetuksessa oppimisen lähtökohta ei ole vielä kirjoitettu teksti eikä edes kuvakaan, vaan abstraktion tien ensimmäisen ja toisen saaren tekemiset ja niiden siirtäminen kuvaksi.  

Matematiikan oppimista edistävä kuva on pelkistetty ja yksinkertainen. Matematiikan kirjan kuvituksessa tärkeää ei ole estetiikka ei “ajan henki” – ei edes humoristisuus, vaan se, että kuvitus palvelee kaikkien oppilaiden matematiikan oppimista parhaalla mahdollisella tavalla. Käytettävän kuvan täytyy olla sellainen, että matematiikan oppimisvaikeusoppilas tai hahmottamisvaikeusoppilas voivat löytää siitä matematiikan kannalta olennaisen. Siksi kuvien on oltava pelkistettyjä ja selkeitä – mieluiten neutraalilla valkoisella sivupohjalla. Kuvituksessa ei saa olla peittosuhteita eli esimerkiksi laskettavat lukumäärät eivät saa olla limittäin eikä kiinni toisissaan. Hyvässä kuvituksessa hahmot rajataan mustalla. Aukeamaan ei ole ahdettu tekstiä ja kuvitusta niin paljon kuin suinkin mahtuu, vaan asettelu on väljää. Tilan säästäminen tässä on säästämistä väärässä paikassa. 

Osa oppilasta haluaa piirtää paljon yksityiskohtia ja matematiikan kannalta turhia elementtejä. Toisaalta osa oppilaista ei haluaisi piirtää lainkaan, osalla voi olla ongelmia hienomotoriikan kanssa. Oppilaille opetetaan “matematiikkapiirtämistä” eli matematiikan kannalta olennaisen ottamista mukaan ja turhan jättämistä pois. Tämä on helpotus etenkin niille, joille piirtäminen on vaikeaa, mutta vaikeampaa niille, jotka nauttivat piirtämisestä ja haluaisivat piirtää yksityiskohtia ja lisätä tarinallisuutta ýmpärille. Pelkistetyt hahmot, jopa viivat, ympyrät, monikulmiot riittävät hyvin. Aikaa ei käytetä matematiikan tunneilla epäolennaisen piirtämiseen. 

Erityisesti alkuopetuksessa oppilaan piirroksille ja käsialalle täytyy jättää tarpeeksi tilaa. Jos oppilaan on osattava kirjoittaa itselleen liian pienellä käsialalla ja piirtää pieniä piirroksia, vaikeutetaan tällä turhaan monen oppilaan opiskelua ja oppimista.  
   

Abstraktion tien soveltaminen 

Asbtraktion tie on joustava työkalu, jota voidaan soveltaa ja joka auttaa opettajaa suunnittelemaan opetustaan johdonmukaisesti niin, että saarten järjestyksestä poikkeaminen on mahdollista. Joskus on vaikeaa keksiä luontevaa toimintaa kaikille saarille. Silloin voidaan keskittyä niihin toimintoihin, jotka onnistuvat ja palvelevat tarkoitustaan parhaiten. Opetuksessa saattaa käydä niinkin, että eri saaret päällekkäistyvät ja sisältävät eri saarten toimintoja limittäin. Voi olla, että meneillään on yhteinen ohjattu leikki, jossa kaikilla on tarvittavat toimintamateriaalit ja jossa tarvitaan jo samaan aikaan piirtämistäkin. 

Liikenne abstraktion tiellä on kaksisuuntaista kahdella tavalla:

  • Uusien käsitteiden oppiminen aloitetaan melkein poikkeuksetta ensimmäiseltä saarelta edeten järjestyksessä. Mutta sen jälkeen opetuksessa on mahdollista vapaammin poiketa tästä järjestyksestä. 

  • Kaksisuuntaisuus tarkoittaa myös kaksisuuntaisuutta abstraktista ilmaisusta kohti konkretiaa. Alkuvaiheessa tekeminen, toiminnallisuus ja piirtäminen edeltävät “matematiikan kielen” ilmaisuja. Mutta pian voidaankin aloittaa abstraktista eli tehtävä annetaan “matematiikan kielellä” numeroilla ja symboleilla, josta pyydetään tekemään vaikka tarina tai piirros. 

 

3. Toimintavälineiden monipuolinen käyttö

Toimintavälineet mahdollistavat käsitteen oppimisen oman kokemuksen ja oivalluksen kautta. Välineistä syntyy mielikuvia, joita voidaan myöhemmin palauttaa mieleen ja ratkaista tehtäviä lopulta vain mielessä. Matematiikan toimintavälineet eivät ole pelkästään laskemisen apuvälineitä, vaan niillä voidaan tutkia, kokeilla, luoda ajatusmalleja, esittää, ratkaista, ymmärtää, yleistää, harjoitella sekä tarkastaa. Välineet annetaan kaikille oppilaille, ei vain oppimisvaikeusoppilaille. Jokainen oppilas etsii ratkaisua välineiden avulla. Opettajan esittämiin kysymyksiin vastaamiseen riittää, että he sanoittavat sitä, mitä ovat välineillä tehneet. Oppilaat pystyvät itse ymmärtämään ja sanoittamaan sitä, mitä heillä on edessään.   

Toimintavälineet ovat ajattelun työkaluja, joita jokainen konkreettisten operaatioiden vaiheessa oleva lapsi tarvitsee kehittääkseen matemaattista ajatteluaan. Jos välineitä käytetään laskustrategioiden oppimisen konkretisoimiseen ja oppilas osaa laskea hyvin jo päässään, on hänen kuitenkin osattava kertoa ja näyttää, miten hän laskee. Pelkän suullisen selostuksen sijaan oppilaan on opittava käyttämään havainnollistamisessa myös välineitä ja piirroksia. Tietenkään tällaista oppilasta ei velvoiteta käyttämään välineitä muuten laskiessaan.  

Osa oppilaista voi irtaantua välineistä nopeasti, mutta tätä on turha opetuksessa kiirehtiä ja vaatia osattavaksi. Välineillä ratkaistaan monenlaisia tehtäviä sekä helppoja että vaikeita – annetaan taitaville oppilaille enemmän ja vaikeampia tehtäviä. Kun opetusryhmässä on itsestään selvää, että välineet kuuluvat kaikkien oppilaiden käyttöön, ei niiden käyttäjä leimaannu oppimisvaikeusoppilaaksi, joka ainoana käyttää niitä, kun ei muuten osaa.  

Matematiikan opetuksessa käytetään sekä erityisesti matematiikan konkretisoimiseen liittyviä välineitä että muitakin esineitä, jotka saavat tilapäisesti tällaisen roolin. Tavoitteena tietenkin on, että välineistä voidaan hiljalleen luopua, mutta niistä on saatava ensin toimivia työkaluja mielessä tapahtuvaan matemaattiseen ajatteluun. Oppilas oppii esimerkiksi  kuvittelemaan ja käyttämään värisauvoja tai kymmenjärjestelmävälineitä vain mielessään. 

Pienet oppilaat ovat taitavia antamaan leikeissä erilaisille esineille uusia rooleja. Käytetään oppilaiden mielikuvitusta hyväksi. Vaikka välineitä tarvitaan usein matematiikan tunneilla, riittää, että käytössä on muutamia moneen rooliin taipuvia välineitä. Menetelmän käyttämisen edellytyksenä ei ole tavaramäärän runsaus vaan tarkoituksenmukaisten välineiden joustavuus ja monipuolisuus.  

 

4. Laaja ja samanaikainen käsiteverkon rakentaminen

Varga–Neményi -menetelmässä matematiikan eri osa-alueet nivotaan alusta alkaen yhteen, niitä rakennetaan samanaikaisesti. Tällöin myöhemmin tarvittavia ajattelumalleja opitaan käyttämään jo ensimmäisinä kouluvuosina. Joustavaa matemaattista ajattelua opetellaan pienin askelin oppijan ikätaso huomioiden. 

Esimerkiksi loogisten palojen käyttäminen, niillä ohjattu leikkiminen loogismatemaattisten kokemusten saamiseksi, onnistuu jo pieneltä oppijalta. Myöhemmin kaikki ne matemaattiset ajattelumallit, joita on käytetty loogisten palojen tai muiden loogisten kokoelmien yhteydessä, on siirrettävissä lukujen ominaisuuksiin ja geometrian sisältöihin. Kun oppilaat oppivat esimerkiksi lukujen ominaisuuksista tai geometriassa tarvittavista käsitteistä lisää, on heillä jo valmiina matemaattisen ajattelun työkaluja näiden abstraktimpien ominaisuuksien ymmärtämiseen ja käyttämiseen. Aikaisemmin opittu siirretään uuteen haastavampaan ympäristöön.  

Matematiikan opiskelua voidaan verrata linnan rakentamiseen. Ensin on tehtävä perustus ja sen jälkeen linnaa rakennetaan kivi kiveltä, kerros kerrokselta. Linnan rakentaminen ei onnistu, jos ensin rakennetaan valmiiksi pohjoisseinä tai sali. Kaikkia osa-alueita rakennetaan samaan aikaan ja liitetään niitä toisiinsa. Tällä tavalla oppilaan mieleen alkaa syntyä rikas, yhtenäinen, monipuolinen ja joustava käsiteverkko, joka sisältää muutakin kuin lukuja ja laskutoimituksia sekä jotakin muuta irrallista tietoa. 

Varga–Neményi -menetelmän mukaista opetusta voi verrata myös kirjoneuleen neulomiseen. Neuleessa kulkee mukana samaan aikaan useita erivärisiä lankoja. Näitä matematiikan “lankoja” eli sisältöalueita kuljetetaan opetuksessa limittäin ja lomittain, jotta käsiteverkon rakentuminen ja yhteyksien löytäminen olisi mahdollista. 

Kaikki Varga–Neményi -menetelmän kaksitoista sisältöaluetta, “matematiikkalinnan rakennusainesta” tai “kirjoneuleen eriväristä lankaa”, ovat tärkeitä ja arvokkaita matemaattisen ajattelun kehittymiselle. Monipuolinen kokemusten hankkiminen ja opiskelu alkavat jo ensimmäiseltä luokalta. Nämä sisältöalueet ovat: 

  1. joukot

  2. logiikka

  3. aritmetiikka

  4. algebra

  5. relaatiot

  6. funktiot

  7. jonot

  8. geometria

  9. mittaaminen

  10. kombinatoriikka

  11. todennäköisyys 

  12. tilastot

Laaja, johdonmukainen  ja samanaikainen käsiteverkon opettaminen on Varga–Neményi -menetelmän ydintä. Tämän hahmottaminen ja ymmärtäminen on opettajalle alussa haasteellista. Tehtävissä on sellaisia matematiikan sisältöalueita, joita ei perinteisesti ole ollut suomalaisessa matematiikan opetuksessa. Nämä tehtävät saattavat näyttää opettajasta oudoilta ja silloin tehtävien tarkoitusta ja johdonmukaisuutta ei ole helppo tunnistaa. Mitä rikkaampi opettajan oma matematiikan käsiteverkko on, sitä helpompi sitä on myös opettaa oppilaille.  

Varga–Neményi -menetelmän mukaiset tehtäväsarjat sisältävät usein samaan aikaan useampiakin matematiikan sisältöjä. Tehtäväsarjat parhaimmillaan:

  • kertaavat jo tuttua

  • harjoituttavat juuri nyt uutta ja ajankohtaista

  • pohjustavat tulevia sisältöjä.

Tehtäväsarjat on laadittu siten, että ne antavat samasta matemaattisesta käsitteestä erilaisia esimerkkejä ja ne avaavat opittavaa sisältöä eri näkökulmista. Koska tehtäväsarjat on laadittu johdonmukaisesti, auttavat aikaisemmat tehtävät seuraavien tehtävien ratkaisemisessa. Tällä tavalla oppilaille rakentuu kuin varkain taito ratkaista aluksi täysin irralliselta näyttäviä tehtäviä, koska niissä pohjimmiltaan käytetään samaa matemaattista periaatetta tai rakennetta, vaikka niissä samaan aikaan on myös uusia matematiikan sisältöjä. Oppilaille annetaan näin työkaluja ja mahdollisuuksia yleistämiselle ja yhä vaikeampien tehtävien ratkaisemiselle.

Kun opetus rakentuu laajan ja samanaikainen käsiteverkon rakentamisen periaatteelle, on oppiminen ja opettaminen mielenkiintoista yhdessä tekemistä ja tutkimista. Tällainen opetustapa ei ole helpoin eikä nopeinkaan. Oppilaiden ja opettajan on mahdollista pysähtyä ja tutkia. Usein myös opettaja saa ahaa-elämyksiä yhdessä oppilaiden kanssa. Oppilaille annetaan työkaluja ymmärtää, oivaltaa ja keskustella matematiikasta. Tämän myötä oppilaat saavat laajan, joustavan ja vankan pohjan myöhemmälle opiskelulle, kun matematiikasta väistämättä tulee abstraktimpaa ja haasteellisempaa. 

Kokemus on osoittanut, että myös oppimisvaikeusoppilaat pysyvät opetuksessa paremmin mukana ja he kokevat matematiikan mielenkiintoisempana, kun opetuksessa ei keskitytä ainoastaan laskemisen opetteluun. Myös oppimisvaikeusoppilaat kokevat onnistumisia, kun opetuksessa on mukana muitakin matematiikan sisältöalueita abstraktion tien mukaisesti.  Lähestymistapa matematiikkaan on monipuolisempi, innostavampi ja rikkaampi. Oppimisvaikeusoppilailla on oikeus oppia myös tätä muuta, eikä jatkuvasti vain harjoitella peruslaskutoimitusten sujuvuutta ja yksinkertaista soveltamista.   

 

5. Turva – lupa erehtyä, väitellä ja iloita

Sallivan ja turvallisen oppimisilmapiirin luominen on tärkeää. Osaamista ei mitata oikein väärin vastauksilla – saati nopeudella – vaan oman matemaattisen ajattelun ilmaisemisella monin eri tavoin. Näin opitaan vertaisilta ja opettaja näkee ja kuulee, mitä jo osataan ja mihin tarvitaan vielä ohjausta. Näin oivalletaan yhdessä ja mennään eteenpäin jokainen omalla tasollaan.

Virheiden pelko estää oppimista. Jotta voi oivaltaa ja ymmärtää, täytyy oppilaan voida kokea olevansa ennen kaikkea turvassa. Turvassa ensimmäisiä epävarmoja aavistuksia ja omia virheitä ei tarvitse peitellä. Matematiikassa uuden oppiminen edellyttää rohkeutta ja aikaa itselle vaikeidenkin asioiden tutkimiseen ja ymmärtämiseen. Tähän tarvitaan monia ajatusten askeleita ja hapuilua. Ilman tätä ei ole todellista oppimista. 

Opettajan suhtautuminen virheisiin ja epävarmuuteen määrittää oppilaiden turvan tunteen syntymisen ja vahvistumisen. Kaikki oppilaiden ikävät kommentoinnit, tuhahdukset ja ilmeet toisten osaamattomuudesta leikataan välittömästi ja määrätietoisesti pois. Oppilaille tehdään selväksi, ettei tällainen käytös yksinkertaisesti ole sopivaa. Samalla kerrotaan, että matematiikkaa vain nyt on sellaista, että sitä oppii virheitä tekemällä ja siksi virheet ovat arvokkaita. Ikävä kommentointi ei siksi kuulu matematiikan opiskeluun. Sen sijaan pyrkimys ymmärtää ja tukea toisia on arvokasta.   

Virheiden tekemisessä opettaja on paras mallin antaja. Hän tekee itsekin virheitä joko tahallisesti, jotta saadaan joku virhekäsitys yhteiseen tarkasteluun tai tahatta. Samalla hän näyttää, ettei osaamattomuus ja virheet muserra häntä eivätkä tee hänestä huonoa. Kun oppilaat huomaavat opettajan tekemän virheen, opettaja suhtautuu siihen pikemminkin kiitollisuudella. “Olipa hyvä, että huomasit tämän!”  Virhettä tutkitaan yhdessä ja siihen etsitään oikea ratkaisu.   

Turvaa tuo oppilaille myös se, ettei opettaja näytä ylivertaista osaamista eikä anna nopeita ratkaisuja. Opettaja pikemminkin kyselee oppilailta kysymyksiä, jotka saavat oppilaat kokeilemaan ja päättelemään itse. Oppimisen kannalta tienviitan ja ajan antaminen valmiin ratkaisumallin sijaan on paljon arvokkaampaa. Turva tarkoittaa tilan ja ajan antamista oppilaan omalle ajattelulle. Monta kertaa opettajan hyvää tarkoittava neuvo ja opastus estää oppilaan omaa ajattelua, koska se tulee liian aikaisin, liian valmiina, liian nopeana ja/tai oppilaan ajatteluun vääränlaisena.

Silloin kun luokassa alkaa tuntua siltä, että oppilaat kokevat olevansa turvassa, alkaa todellinen opiskelu ja kiinnostuminen itse matematiikasta. Turva mahdollistaa onnistumisen ja oppimisen ilon silloinkin, kun asia ei ole oppilaalle helppo. Koska opettaja ei näyttäydy ylimpänä auktoriteettina, rohkaistuvat oppilaat esittämään omia päätelmiään, joita kehitellään yhdessä eteenpäin. Opettaja voi kysellä välillä sellaista, jossa oppilaan pitää rohjeta puolustaa omaa ajatustaan. "Voiko tosiaan olla näin, että...", "En minä vaan tiedä, miten sinä tämän ymmärrät?”, "Miten ihmeessä tämä voisi mennä näin?" 

”Jos oivalsit jotakin, säilytä salaisuus! Käy kuiskaamassa se minulle!” On tärkeää opettaa nopeasti oivaltavia oppilaita siihen, etteivät he paljastaisi liian nopeasti omia ajatuksiaan, vaan heidän osaamistaan voidaan hyödyntää opetuksessa muiden oppimista tukevana. Jos oppimisesta ja oivaltamisesta tulee vain nopeiden etuoikeus, muiden halu oppia vähenee ja he siirtyvät helposti syrjemmälle vain seuraamaan opetusta – ei enää osallistumaan siihen. 

6. Oppilaan kehityksen ja ominaispiirteiden huomioiminen

Ajattelun kehitys 

Lapsen ajattelu on ennen kouluikää ja ensimmäisinä kouluvuosina konkreettista. Lapsi ymmärtää parhaiten ne asiat, jotka hän voi nähdä ja joita hän voi koskettaa. Vähitellen lapsi kuitenkin kykenee irtautumaan välittömistä aistihavainnoistaan. Tämä mahdollistaa eri toimintojen suorittaminen yhä enemmän vain mielessä. Hiljalleen ajattelusta tulee abstraktimpaa ja käsitteellisempää. Kehitys tapahtuu lapsilla eri aikaan, joten opetuksessa tämän on otettava huomioon siten, että myös varhaisemmassa vaiheessa olevien oppilaiden taidot pääsevät kehittymään.  

Kouluikäisen lapsen ajatteluun tulee vähitellen lisää joustavuutta ja lapsi kykenee ongelmia ratkaistessaan harkitsemaan erilaisia vaihtoehtoja. Päättelykyky paranee ja syysuhteet selkenevät. Tässä iässä lapsi ei vielä kykene arvioimaan realistisesti omaa oppimistaan. Sitä ei pidä siksi vaatiakaan.   

Matemaattisen ajattelun kehittyminen alkaa jo vauvaikäisenä. Opettajan on tärkeää tuntea normaalin matemaattisen ajattelun kehittymisen päävaiheet, jotta hän voi tukea lasta paremmin ja antaa eri vaiheissa oleville oppilaille sopivia tehtäviä. Katso sivut xx-xx. 

Oppilaan erityispiirteet

Jokainen lapsi on omanlaisensa omine kykyineen ja haasteineen. Matematiikan oppimista voivat vaikeuttaa monet eri tekijät erilaisista neuropsykiatrisista erityispiirteistä, temperamenttipiirteistä oppilaan koti- ja kouluympäristöön saakka. Lista olisi lähes loputon. Alla on lueteltu sellaisia vaikeuksia, jotka on hyvä ottaa huomioon matematiikan oppimisen sujumiseksi. Niiden vaikutusta voidaan vähentää, ne voidaan opetuksessa joko kiertää tai jopa voittaa.  

  • hahmottamisen vaikeus

  • heikko työmuisti

  • heikko kyky nähdä säännönmukaisuuksia ja yleistää

  • suuntien sekoittaminen

  • nimeämisen vaikeus

  • toiminnanohjauksen ja tarkkaavaisuuden ongelmat. 

Yllä olevaa listaa voi tulkita myös niin, että jos nämä asiat ovat lapsella hallinnassa, matematiikan oppimiselle on hyvät edellytykset. Nämä tekijät ovat osittain sellaisia, joissa oppilaita voidaan hyvällä opetuksella auttaa, jolloin vaikeus lientyy tai se on kierrettävissä ja matematiikan oppiminen saa hyvän alun.  

Visuaalinen hahmottaminen

Opetuksessa voidaan ottaa huomioon etenkin lievät visuaalisen hahmottamisen pulmat ja antaa oppilaille sellaisia tehtäviä, jotka tukevat hahmottamisen kehittymistä. Jos harjoitukset etenevät visuaalisen hahmottamisen kehityskaaren mukaisessa järjestyksessä ja niille annetaan aikaa, saattavat hahmottamisen pulmat ratketa itsestään. Vaikeat hahmottamisen ongelmat vaativat perusteellisempaa ja systemaattisempaa opetusta. Tässä oppaassa on tienviittoja kehityskaaren mukaiseen harjoitteluun.   

Työmuisti

Hyvä työmuisti auttaa matematiikan oppimisessa paljon. Jos oppilas kykenee pitämään useita muistiyksiköitä mielessään, hän selviää mielessä tapahtuvasta ajattelusta hyvin. Tällainen oppilas voi sekä prosessoida että tallentaa tietoa pitkäkestoiseen muistiinsa. Vaarana on, että matematiikan opiskelussa painotetaan liiaksi ja liian nopeasti mentaalia matematiikkaa. Ne oppilaat, joiden työmuisti on kapea, eivät pysty pitkiin työmuistia kuormittaviin prosesseihin eivätkä pysty tallentamaan opittavaa asiaa pitkäkestoiseen muistiin.   

Jos työmuisti on kapea, annetaan oppilaalle mahdollisuus käyttää muistitukia, joiden avulla hän selviää tehtävistä. Opetuksessa on mietittävä, minkälaisia muistitukia opetetaan ja niitä annetaan oppilaiden myös käyttää tarvittaessa. Tämä tarkoittaa muun muassa sitä, että oppilaat saavat käyttää välineitä, tehdä piirroksia, kirjoittaa välituloksia tai tehdä muita muistiinpanoja. Jos tämä ei ole sallittua, tämä vaikeuttaa kohtuuttomasti ja etenkin aivan turhaan kapean työmuistin oppilaiden oppimista. 

Säännönmukaisuuksien ja rakenteiden löytäminen sekä yleistäminen

Matemaattisessa ajattelussa on keskeistä taito löytää säännönmukaisuuksia, havaita ja ymmärtää rakenteita. Yleistämisen avulla voidaan opittua soveltaa uusiin tilanteisiin ja ongelmiin. Jotta oppilas voi yleistää, on hänen ymmärrettävä peruskäsitteet ja niiden väliset yhteydet. Taitava oppilas etsii malleja ja kaavoja, joiden avulla hän voi etsiä ratkaisuja muihin tapauksiin. Yleistäminen on taito, jota voidaan opetuksessa kehittää.

Jo ennen kouluikää lapset oppivat tunnistamaan, kopioimaan ja jatkamaan jaksollisia jonoja kuten esimerkiksi ABCABCABC. Lukujen ja geometrian maailmassa on paljon säännönmukaisuuksia, relaatioita ja rakenteita, joiden löytäminen on matematiikan oppimisessa välttämätöntä. Näiden tehtävien tekeminen aloitetaan abstraktion tietä pitkin jo alkuopetuksen aikana. Opetuksessa tehdään jatkuvasti havaintoja ja sanoitetaan sitä: 

  • mikä on samanlaista

  • mikä  säilyy samanlaisena

  • mikä on erilaista

  • mikä muuttuu 

  • jos jokin muuttuu, onko muutos säännönmukaista. 
     

Sijainti- ja suuntakäsitteet

Alkuopetuksen geometrian opetussuunnitelmaan on kirjattu suunta- ja sijaintikäsitteiden vakiinnuttaminen. Luontevin tapa oppia näitä kolmiulotteisessa ympäristössä on käyttää omaa kehoa ja tilassa liikkumista. Alkuopetuksen aikana tavoitteena on esimerkiksi se, että käsitteet oikea, vasen, edessä, takana, välissä, ylhäällä, alhaalla ja niin edelleen vakiintuvat ainakin itsestä käsin että tasossa eli paperilla. Näiden vakiintumisessa auttavat laululeikit, “matikkajumppa”, ohjatut liikuntaleikit ja niin edelleen. Vaikka nämä on kirjattu matematiikan opetussuunnitelmaan, harjoitellaan niitä pikkuvälitunteilla, tuntien aluissa, odottelutilanteissa, musiikkitunneilla, liikuntatunneilla ja monissa muissakin sopivissa paikoissa matematiikan tuntien ulkopuolella. Näiden taitojen hallinta on tärkeä osa kaikkea oppimista, ne eivät ole vain osa matematiikan oppimista.  

Suullinen ja kirjallinen työskentely

Pieni koululainen käyttää itseilmaisussa parhaiten vielä puhuttua kieltä, liikettä ja eleitä. Matematiikan tunneilla suullinen ja kehollinenkin tekeminen ja vuorovaikutus on aluksi tärkeämpää. Oppilaita opetetaan tulkitsemaan kuvia ja käyttämään piirroksia ajattelun apuna. Kirjoitetun tekstin ymmärtäminen ja tuottaminen ovat etenkin alkuopetuksen aikana enemmän äidinkielen opetuksen sisältöjä. Oppilaiden ei tarvitse osata lukea ja ymmärtää matematiikan kirjan tekstejä itsenäisesti, vaan opettaja lukee tehtävät ääneen ja niitä avataan ja niihin etsitään ratkaisua yhdessä. Tällä tavalla suullisen ja kirjallisen työskentelyn hitaus ei oikeastaan tule juuri esille matematiikan tunneilla. Oppilailla on mahdollisuus oppia tuottamaan ja ymmärtämään suullista ja kirjallista tekstiä vähitellen.   

Nopea nimeäminen

Tutkimusten mukaan nimeämisen vaikeus on yksi matematiikan oppimisvaikeuksien syistä. Nimeämisvaikeudella tarkoitetaan erityistä vaikeutta palauttaa mieleen kielellisiä nimikkeitä, esimerkiksi esineiden tai värien nimiä. Kyse ei tällöin ole sanavaraston ongelmasta. Lapsi kyllä tietää sanan, mutta ei pysty palauttamaan sitä mieleensä. 

Nimeämisvaikeus voi ilmetä nimeämisen nopeudessa, tarkkuudessa tai molemmissa. Matematiikan opetuksessa alkuopetuksen aikana on keskeistä ominaisuuksien havainnointi ja nimeäminen sekä kaiken toiminnan ja tekemisen sanoittamisen oppiminen. Oppimisvaikeuksien voittamisessa usein harjoitus tekee mestarin. Siksi opetuksessa harjoitellaan paljon nimeämistä, sanoitetaan tekemisiä ja havaintoja, etsitään ja nimetään ominaisuuksia. Ominaisuuksien nimeäminen ja ominaisuuksien vertailu on matematiikan yksi kulmakivistä.    

Nopeaa nimeämistä arvioidaan yleensä nopean sarjallisen nimeämisen testillä, joka kuuluu erityisopettajien työkaluihin. Siinä mitataan toistuvien ärsykkeiden nimeämiseen kulunutta aikaa ja nimeämisen virheellisyyttä. Nimeämistä voidaan arvioida myös yksittäisten kuvien nimeämisen tehtävillä. Mikäli tämä testi tehdään alkuopetuksen alussa, on siitä hyötyä myös opetuksen suunnittelussa. Jos oppilaalla havaitaan vaikeuksia nopeassa nimeämisessä, opetuksessa ei kiirehditä turhaan abstraktion tiellä ja tekemisten sanoittamiselle annetaan aikaa ja mahdollisuuksia.  

Nimeämistaitoja voidaan yrittää tukea sekä kotona että koulussa erilaisilla leikeillä, peleillä ja tehtävillä: 

  • nimetään ympäristössä olevia esineitä

  • nimetään eri esineiden ominaisuuksia 

  • luokittelutehtävät

  • vastakohtatehtävät

  • ohjeita annettaessa käytetään tarkkoja ilmaisuja, esimerkiksi “ota suurempi kirja alahyllyltä ja vie se työpöydän päälle” 

  • Laiva on lastattu -leikki 

  • sanaselityspelit

Toiminnanohjaus ja tarkkaavaisuus 

Kouluikäisen lapsen keskittymiskyky ja oman toiminnan säätely kehittyvät huomattavasti. Tätä nuoremman lapsen tarkkaavaisuus kohdistuu enimmäkseen välittömästi palkitseviin ja lasta innostaviin asioihin. Aivojen kypsymisen ja harjoittelun myötä lapsi pystyy aiempaa paremmin suuntaamaan ja ylläpitämään tahdonalaisesti tarkkaavuuttaan ja säätelemään impulssejaan, oppimaan koululaistaitoja. 

Itsesäätelytaidoissa on yleensä suuria eroja lasten välillä. Opettajan tai muun aikuisen apu ja tuki on erityisesti alkuopetuksen aikana tarpeen vielä keskittymistä, ponnistelua ja suunnittelua vaativissa tehtävissä. 

Alakouluvaiheessa monet perustaidot automatisoituvat ja nopeutuvat. Tämä vaatii matematiikassa eri oppilailta erilaisen määrän harjoittelua ja keskittymistä. Automatisoituneiden taitojen hallinta on edellytys monimutkaisempien asioiden oppimiselle. Siksi niitä ei voi ohittaa myöhempinäkään kouluvuosina.  

Toiminnanohjauksen ongelmat tulevat esille niin sanottujen koululaistaitojen puuttumisena. Ne voivat näkyä esimerkiksi:

  • kuullun ohjeen noudattamisessa

  • toiminnan itsenäisessä jatkamisessa

  • toiminnassa ponnistelussa

  • ohjeen muistamisessa

  • siirtymätilanteissa

Opettajalta vaaditaan toiminnanohjauksen taitojen harjaannuttamisessa paljon kärsivällisyyttä. Jos oppilaalla on toiminnanohjauksen pulmia, häntä mieluummin autetaan ja tuetaan kuin moititaan ja vaaditaan mahdottomia. 

Kun opetus on toiminnallista, toimintatapojen oppiminen alussa on todennäköisesti haasteellisempaa kuin itsenäiseen kirjalliseen työhön ohjaaminen. Toisaalta toiminnallisuus auttaa myös keskittymään ja jatkamaan tekemistä, koska pienen oppilaan ei tarvitse jaksaa istua hiljaa paikallaan, vaan hän saa osana opiskelua ja toivottua käytöstä toteuttaa luonnollista liikkumisen tarvettaan. 

Toiminnanohjausta tuetaan antamalla toiminnalle selkeät raamit ja struktuuri. Opettaja kertoo jo ennakkoon, miten eri tilanteissa toimitaan ja huolehtii siitä, että oppilaat oppivat toimimaan ohjeen mukaan. Kun oppilaat ovat oppineet siihen, miten esimerkiksi värisauvalaatikko haetaan hyllyltä, miten sitä käytetään ja mihin se palautetaan, alkaa tekeminen sujua nopeammin ja hallitummin. Toiminnallisuudessakin annetaan oppilaille selkeä struktuuri. Oppilaat oppivat, että vaihtaminen yhdestä tekemisestä toiseen vie vain häviävän pienen hetken eikä siirtymän aikana ehditä odotella ja tehdä mitään omia puuhia. Kaaosta ja turhaa hälyä ei tarvitse sietää. 

7. Luova ja innostunut opettaja 

Opettajan rooli kyselijänä ja johdattelijana poikkeaa perinteisestä opettajan opetustavasta, jossa annetaan valmis malli ja esitetään suljettuja kysymyksiä, joihin voidaan vastata lyhyesti ja yhdellä tavalla. Koska oppilailla on ratkaisemiseen tarvittavia välineitä käytössä, opettajan rooliksi tulee kysellä siten, että oppilailla on mahdollisuus kertoa tekemisistään ja havainnoistaan ja oivaltaa itse, miten pulma saadaan ratkaistua. Viisas opettaja osaa antaa tilaa ja sopivasti aikaa kokeilemiselle ja oivalluksen syntymiselle. Joskus voi olla kyse vain muutamasta pienestä hetkestä ja vastauksen viivästyttämisestä. 

Ajan antaminen ja luottaminen siihen, että oivallus tulee joskus myöhemmin, on opettajalle aluksi haastavaa. Jos hän haluaa kiirehtiä maaliin eikä oppilaan oma oivaltaminen ole vielä mahdollista, ei opettajan hyvää tarkoittava neuvo ja ohje auta oppilasta, vaan saattaa olla, että oppilas tuntee itsensä entistä taitamattomammaksi. Todellista oppimista ei synny, vaan asia huuhtoutuu mielestä saman tien, vaikka opettaja kuinka neuvoisi ja opastaisi. 

Opettajan rooli on ongelmanratkaisulähtöisessä opetustavassa keskeinen. Oppilaita ei jätetä yksin mahdottomalta tuntuvien liian vaikeiden tai abstraktien ongelmatehtävien tai oppimisen kannalta epätarkoituksenmukaisten tehtävien pariin, vaan opettajan tehtävä on huolehtia siitä, että tekemiset rakentavat oppilaan käsiteverkkoa ja ne ovat sopivia juuri siinä kohdassa. Opettaja ohjaa ja tukee oppimista niin, että oppilaalla on mahdollisuuksia edetä tavoitteen mukaisesti. Opettajan haasteena on oppia, miten ohjaaminen ja oikeanlaisen tuen antaminen onnistuu niin, että oppilaan omalle ajattelulle ja kokeilulle on sopivasti aikaa ja tilaa. 

Tässä tärkeimmät opettajan työkalut ovat koulumatematiikan käsiteverkon tunteminen ja matematiikan oppimisen taksonomian tunteminen eli mitä taitoja ja tietoja oppilaalla on oltava, jotta hän voi oppia seuraavan asian. Opetettava sisältö ja opetustapa muovautuvat näiden kahden ehdon mukaan.  

Opettajan rooli matematiikan tunneilla ei ole matemaattisen tiedon ”julistaminen”, vaan:

  • opetustilanteiden järjestäminen

  • ongelman oikeanlainen esittäminen

  • ongelman ratkaisemiseen tarvittavista välineistä huolehtiminen

  • mahdollisesti tarvittavan tuen turvaaminen

  • rauhallisen työilmapiirin luominen

  • motivoituneisuuden rakentaminen

  • oppilaan työn ohjaaminen ja tarkistaminen 

Varga–Neményi -opetusmenetelmän mukaisessa opetuksessa opettaja esittelee tehtävät, mutta ei anna valmista ja mekaanista ratkaisumallia, vaan antaa oppilaille välineitä ja keinoja tehtävän ratkaisemiseksi abstraktion tien mukaisesti. Opittava asia ei liity välttämättä laskemiseen, vaan sen avulla voidaan laajentaa ymmärrystä lukualueista, kymmenjärjestelmästä; tai opetella esimerkiksi joustavia tapoja hajottaa ja koota lukuja, etsiä erilaisia ratkaisuja, tiedon muuttamista taulukoksi, sanallisen tehtävän ratkaisemista piirtämällä, kuvalukemista, kysymyksen muotoilemista ja niin edelleen. Eli opetellaan yhdessä kaikkea sitä, mitä oppilas tarvitsee matemaattisen ajattelunsa ja matematiikan taitojensa kehittämisessä laskutaitoa tietenkään unohtamatta, vaikka opetusta ei kavenneta laskemisen oppimiseksi.  

Kun opettaja ohjaa oppilaita, käytetään mahdollisimman vähän suljettuja ja ”nopeita” kysymyksiä, joihin on vain yksi oikea vastaus ja/tai joihin voidaan vastata muutamalla sanalla. (Toki näillekin on joskus sijaa.) Oppilasta pyydetään näyttämään, kertomaan lisää, käyttämään perusteluissaan luonnollista kieltä, välineitä ja/tai kuvia. Luokkaan kannattaa tuoda myös ”pitkiä ongelmia”, jotka eivät ratkeakaan heti tai joihin on olemassa monia ratkaisutapoja tai vastauksia. Tällaisiin ongelmiin voidaan palata useamman koulupäivän aikana, jolloin oppilaat saavat miettiä erilaisia ratkaisutapoja. 

Opettajan kysymykset voivat alkaa esimerkiksi:
”Miten voi olla mahdollista, että…?”
”Onko mahdollista, että…?”
”Näytä, miten ajattelit!”
”Mahtaako olla…?”
”Voisitko piirtää tästä kuvan?”
”Voisitko tehdä tästä taulukon?”
”En aivan ymmärrä, voisitko kertoa enemmän…?”
Opettaja voi myös vastata oppilaan pohtivaan toteamukseen tai kysymykseen ja ehdottaa, mihin suuntaan oppilas voisi edetä:
”En minä vaan tiedä, mutta voisiko ehkä…”

 

8. Oppijaksi kasvaminen

Jos oppilas huomaa taitojensa kasvavan, lisää tämä yleensä mielenkiintoa myös itse oppiainettakin kohtaan. Jos oppilas säilyttää kyvykkyyden tunteen, vaikka matematiikka ei olisikaan helppoa, kiinnostus opiskeluun ja oppimiseen säilyy. 

Matematiikan oppimisessa tarvitaan:

  • sinnikkyyttä ja keskittymistä monenlaisissa oppimisympäristöissä

  • yhdessä tekemistä, yhteistyö- ja keskustelutaitoa

  • toisten auttamista, me-henkeä ja suvaitsevaisuutta

  • luovuutta ja kädentaitoja

  • järjestyksen säilyttämistä, työvälineistä huolehtimista

  • hyväntuulista tekemistä

Jotta opetusryhmässä päästään näihin tavoitteisiin, aloitetaan määrätietoinen työskentely jo heti ensimmäiseltä luokalta. Tämä vie aikaa ja vaatii kärsivällisyyttä. Kuitenkin kaikki oppijaksi kasvamisen tukemiseen käytetty aika palkitaan myöhemmin moninkertaisesti.  

Kertotaulujen osaaminen kuuluu myös toisen luokan sisältöihin- Esimerkiksi jos toisen luokan oppilaan lukujonotaidot ja erityisesti monikertojen osaaminen sekä yhteen- ja vähennyslaskutaidot eivät ole vielä riittävän sujuvia, ei oppilaalta voida vaatia kertotaulujen osaamistakaan. Tarvitaan paljon aikaa ja tilaa kaikkien oppilaiden lukujenkäsittelytaidon kehittymiselle. Tämä on edellytys sille, että oppilaiden peruslaskutaidot pääsevät kehittymään. 

Lukualueen 0–20 yhteen- ja vähennyslaskujen laskustrategioiden sujuvoituminen ja näiden siirtäminen analogisen ajattelun avulla lukualueelle 0–100 on yksi keskeisimmistä toisen luokan sisällöistä. Ennen peruslaskutoimituksien osaamista oppilaalla pitää olla jo koko joukko muita lukuihin liittyviä taitoja. Opetuksen tavoite on, että oppilas oppii sujuvan laskutaidon eli hän osaa käyttää taloudellisia laskustrategioita lukujen yksitellen luettelemisen sijaan. Laskustrategioita ei tarvitse keksiä itse, vaan niihin tutustutaan yhdessä ja niitä harjoitellaan monipuolisesti, jotta laskutaito sujuvoituu ja automatisoituu. Tässäkin on tärkeää, että oppilas ymmärtää, miksi jollakin tietyllä tavalla voidaan laskea. Pohjataitona on lukukäsitteen ymmärtäminen ja taito käsitellä lukuja. Pelkkä laskemisproseduurin mekaaninen osaaminen ei riitä. Oppimiseen saatetaan tarvita pitkä aika, koska laskustrategioita ei voi oppia ennen kuin lapsen lukukäsite on riittävän kehittynyt. Siksi laskustrategioita konkretisoidaan ja harjoitellaan moneen kertaan läpi alkuopetuksen ja vielä myöhempinäkin vuosina. Oppilas lopulta valitsee ja vakiinnuttaa itselleen lopulta luontevimmat laskustrategiat. Oppilaille täytyy olla useita eri mahdollisuuksia näiden ydintaitojen oppimiselle, koska myöhempi matematiikan osaaminen rakentuu alkuopetuksen luomalle pohjalle. 

Oppilaiden matematiikan taidot ovat varsin erilaisia jo kouluun tultaessa. Opetuksessa on kuitenkin edettävä sisältöjen mukaisesti. Osalle oppilaista uusi asia tulee liian varhain, osalle se on jo oikeastaan myöhäistä. Opettajalta vaaditaan keskeneräisyyden sallimista. Jos opettaja tuntee lukukäsitteen kehittymisen taksonomian, hän pystyy paremmin ottamaan huomioon erilaiset oppilaat-  

Päässälaskutaito ei tarkoita sanallisten tehtävien ratkaisemista vain mielessä eli päässälaskulla. Toisin sanoen Varga–Neményi -menetelmässä ei käytetä suullisia sanallisia päässälaskutehtäviä siten, että opettaja lukee tehtävän ääneen kaksi kertaa, kirjoittaa tarvittavat luvut näkyville ja oppilas ratkaisee tehtävän vain mielessään ja kirjoittaa tuloksen paperille. Tavoitteena Varga–Neményi -menetelmässäkin on, että oppilas lopulta osaa ratkaista tehtäviä vain mielessään, mutta tähän johtava polku on pitkä ja monivaiheinen. Oppilaalla on oikeus oppia itselleen vaikeita asioita vähitellen ja pienin askelin eikä oppilaan tarvitse silloin todeta: “En tänäänkään osaa enkä ymmärrä.”    

Siksi vielä ensimmäisinä kouluvuosina oppilaan kirjan tehtäviä ei ole tarkoitettu oppilaan itsenäisesti luettavaksi ja tehtäväksi. Tavallisesti ennen kirjan tehtäviä asia on oikeastaan jo opittu abstraktion tien mukaan kulkemalla. Kun tunnilla lopulta tehdään tehtäviä oppilaan kirjasta, opettaja valikoi niistä sopivat. Opettaja lukee tehtävän ääneen ja sitä avataan heti perään keskustelemalla, se konkretisoidaan abstraktion tien mukaisesti joko näyttelemällä, toimintamateriaalien avulla ja/tai piirtämällä. Tavallisesti oppilailla on jo kokemusta vastaavista tehtävistä, niitä on tehty esimerkiksi toimintamateriaalien avulla ennen kirjan tehtäviä. 

 

Sivustollamme käytetään evästeitä